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Der Dreisatz

[Der einfache Dreisatz]                [Der zusammengesetzte Dreisatz]

1        Der einfache Dreisatz

Beispiel 1:

Ein PKW verbraucht bei einer Fahrtstrecke von 687 km
53,2 l Superbenzin.
Wie hoch ist der durchschnittliche Benzinverbrauch je 100 km?

 Beispiel 2:

8 Arbeiter vollenden eine Arbeit in 15 Tagen.
Wie lange brauchen 5 Arbeiter für die gleiche Arbeit?
 

Ziel:

Wir wollen diese beiden Aufgaben auf einem schnellen und effektiven Weg lösen. Dazu stellen wir in einem Ansatz jeweils einander entsprechende Größen gegenüber. Dabei ist es wichtig, dass auf jeweils derselben Seite des Ansatzes auch dieselben Größen stehen!
 

↓

↓
Ansatz:

   687 km Fstr.    53,2 l Benzin
   100 km Fstr.           x 

 

  

(Aussagesatz: Was ist gegeben?)
(Fragesatz: Was wird gesucht?)

 

 Ansatz:

   8 Arbeiter    15 Tage
   5 Arbeiter         x

 

  

(Aussagesatz: Was ist gegeben?)
(Fragesatz: Was wird gesucht?)
       

Es gibt prinzipiell 2 Möglichkeiten derartige Aufgaben zu lösen:
  1. mit Hilfe des klassischen Dreisatzes
  2. mit Hilfe von Verhältnisgleichungen und Proportionen
   
1. Der Dreisatz: 1. Der Dreisatz:

↓

↓
 

 
1.


2.

 

3.
53,2

 
(Der PKW verbraucht auf 687 km 53,2 Liter Benzin.)

(Auf 1 km verbraucht der PKW nur den 687. Teil des Gesamtverbrauchs.)

 

(Dann verbraucht der PKW auf 100 km 100-mal mehr Benzin.)

   
      1.

     
      2.

     
     
      3.
15 Tage
(8 Arbeiter brauchen 15 Tage.)


(Wenn 8 Arbeiter 15 Tage brauchen, dann braucht 1 Arbeiter 8-mal länger.)


(Dann brauchen 5 Arbeiter nur den 5. Teil der Arbeitszeit von 1 Arbeiter.)

↓

↓

              =  7,74 Liter

 Ergebnis

                 =  24 Tage

 Ergebnis
       
       
2. Verhältnisgleichung und Proportion: 2. Verhältnisgleichung und Proportion:
       
Ansatz:

   687 km F    53,2 l B
   100 km F           x 

proportionale Zuordnung:

 Ansatz:

   8 Arbeiter    15 Tage
   5 Arbeiter         x

 

 proportionale Zuordnung:

  


 

Wenn der PKW für 687 km 53,2 Liter Benzin braucht, dann benötigt er für eine kürzere Fahrtstrecke (100 km) auch weniger Benzin.
→ beide Größen verändern sich in gleichem Maße
→ direkte Proportionalität
 

 Wenn 8 Arbeiter für eine bestimmte Arbeit 15 Tage brauchen, dann benötigen weniger Arbeiter (5) länger Zeit für dieselbe Arbeit.
→ beide Größen verändern sich entgegengesetzt
→ indirekte (umgekehrte) Proportionalität
Verhältnisgleichung: Produktgleichung: Verhältnisgleichung: Produktgleichung:

             

      ↓


↓

↓


↓

Gleichung umformen nach x
↓

Gleichung umformen nach x
↓

 Gleichung umformen nach x
↓		 Gleichung umformen nach x
↓

 

Lösung:

x = 7,74 Liter

 Lösung:

x = 7,74 Liter

 Lösung:

x = 24 Tage

 Lösung:

x = 24 Tage
   

↓

 ↓
Ausdrucksweisen:
  • Dreisatz mit geradem Verhältnis
  • gerader Dreisatz
  • Dreisatz mit direktem Verhältnis
  • Verhältnisgleichung mit direkter Proportionalität
 Ausdrucksweisen:
  • Dreisatz mit ungeradem Verhältnis
  • ungerader Dreisatz
  • Dreisatz mit indirektem Verhältnis
  • Verhältnisgleichung mit indirekter Proportionalität

 
Übungen: Übungen:
   

Beispielaufgabe:

Ein Rohbau wird durch 12 Arbeiter in 15 Tagen erstellt, wenn die tägliche Arbeitszeit 8 Stunden beträgt.
Wie viele Stunden müssen die Arbeiter täglich auf dem Bau sein, wenn der Rohbau von 10 Arbeitern in 24 Tagen erstellt werden soll?

Lösung 1  (nach dem einfachen Dreisatz):

Ansatz:

12 Arbeiter          15 Tage             8 h
10 Arbeiter          24 Tage             x

Der Dreisatz ist aus zwei Teilen zusammengesetzt.
Beide Teile einzeln berechnen!

Für 12 Arbeiter gilt:

15 Tage               8 h
24 Tage               x
(ungerader bzw. indirekter Dreisatz)		 x = 5 h

Für 10 Arbeiter gilt:
 
12 Arbeiter          5 h
10 Arbeiter          x
(ungerader bzw. indirekter Dreisatz)		 x = 6 h

Antwort:

Die Arbeiter müssen  täglich 6 Stunden auf dem Bau sein, wenn der Rohbau von 10 Arbeitern in 24 Tagen erstellt werden soll.

Lösung 2  (nach dem vereinfachten Schema des zusammengesetzten Dreisatzes):

Ansatz: 

12 Arbeiter          15 Tage             8 h
10 Arbeiter          24 Tage              x

Beide Dreisätze sind ungerade.

1. Dreisatz:   Für 12 Arbeiter gilt ... 

2. Dreisatz:   Für 10 Arbeiter gilt ...

x = 6 h


Aufgabe 2: 

Ein Wanderer läuft 224 Kilometer in 7 Tagen, wenn er täglich 8 Stunden unterwegs ist.
In wie viel Tagen legt der Wanderer 216 Kilometer zurück, wenn er täglich nur 6 Stunden unterwegs ist? 

Lösung 1  (nach dem einfachen Dreisatz): 

Ansatz:

224 km               7 Tage               8 h
216 km                   x                    6 h

Der Dreisatz ist aus zwei Teilen zusammengesetzt.
Beide Teile einzeln berechnen!

Für 224 km gilt:

7 Tage                 8 h
    x                      6 h
(ungerader bzw. indirekter Dreisatz) 		 x = 9,333... Tage
 

Für 216 km gilt:

224 km               9,333... Tage
216 km                  x
(gerader bzw. direkter Dreisatz)		 x = 9 Tage

Antwort: 

Der Wanderer legt in 9 Tagen die Strecke von 216 km zurück, wenn er täglich 6 Stunden unterwegs ist.

Lösung 2  (nach dem vereinfachten Schema des zusammengesetzten Dreisatzes):

Ansatz:

224 km               7 Tage               8 h
216 km                   x                    6 h

Der 1. Dreisatz ist ungerade und  der 2. Dreisatz ist gerade.

1. Dreisatz:   Für 224 km gilt ...

2. Dreisatz:   Für 216 km gilt ...

x = 9 Tage

Übungsaufgaben