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Lineare Gleichungen

[lineare Gleichungen mit einer Unbekannten] [lineare Gleichungen mit zwei Unbekannten]


Linearen Gleichungen mit einer Unbekannten

→    allgemeine Form:    ax + b = 0        (a, b, x R)

------------------------------

Lösung einer linearen Gleichung der Form ax + b = 0:

Äquivalente Umformungen einer linearen Gleichung:

Umformungen, die die Lösungsmenge der Gleichung unverändert lassen.
z. B.:

  • auf beiden Seiten der Gleichung dieselbe Zahl addieren
  • auf beiden Seiten der Gleichung dieselbe Zahl subtrahieren
  • beide Seiten der Gleichung mit derselben (von Null verschiedenen) Zahl multiplizieren
  • beide Seiten der Gleichung durch dieselbe (von Null verschiedene) Zahl dividieren
  • beide Seiten der Gleichung potenzieren (z. B. quadrieren)
  • aus beiden Seiten der Gleichung die Quadratwurzel ziehen

Wann gilt eine (lineare) Gleichung als gelöst?

Für die Unbekannte (z. B. x) gilt:

  • x muss im Zähler stehen
  • x darf nur auf einer Seite der Gleichung stehen
  • x muss allein dort stehen
    (also nur: 1x =)
  • x muss positiv sein
    (also: +x =)

Hinweis zur Lösung einer Gleichung:

  • Störglieder werden immer durch die entgegengesetzte Rechenoperation beseitigt (auf die andere Seite der Gleichung gebracht)

Beispielaufgaben:

  (ausführlicher Rechenweg)

             (1)                                              (2)                                                                                    

 8x = 48 | : 8      10x + 8 = 6x + 16 | - 8
(Kürzen) 10x + 8 - 8 = 6x + 16 -8

            10x = 6x + 8

(Zusammenfassen)

| - 6x

     x = 6 (Ergebnis)     10x - 6 x = 6x + 8 - 6x

             4x = 8

(Zusammenfassen)

|: 4

            

 

(Kürzen)
                   x = 2 (Ergebnis)

                                          (3)

5 + 4x + 8 - x = x + 22 + x (Zusammenfassen)
          13 + 3x = 2x + 22

   13 + 3x - 13 = 2x + 22 - 13

| - 13

(Zusammenfassen)

                   3x = 2x + 9

           3x - 2 x = 2x + 9 - 2x

| - 2x

(Zusammenfassen)

                     x = 9 (Ergebnis)

(kurzer Rechenweg)

(4)                                                               (5)

12y = 84 | : 12 2a +10 + 5a -15 = 3a +7 (Zusammenfassen)
(Kürzen)               7a - 5 = 3a +7

              4a - 5 = 7

| - 3a

| + 5

 y = 7 (Ergebnis)                     4a = 12 | : 4
                          a = 3 (Ergebnis)

Übungsaufgaben:

Löse folgende lineare Gleichungen!

  1. 7x = 49
  2. 8y = 88
  3. 16 = 4z
  4. 15x + 16 = 31
  5. 12a - 32 = 4
  6. 45 = 5z - 15
  7. 4x + 9 + 3x - 14 = 3x + 7
  8. 6x + 3 = 2x + 11
  9. 14x + 13 = 62 + 7x
  1. 26 + 28x = - 16 + 14x + 140
  2. 5 + 2x + 8 + x = x + 22 + x
  3. 8x + 7 = 5x - x + 23
  4. 7x + 5 - 3x = 15 - 4x + 6
  5. 6x - 45 - x + 30 - 4x + 17 = 22
  6. 2x + 3 + 5x = 19 - 6x + 10
  7. - 9x - 8 + 4x = 28 - 2x - 42
  8. 15x + 9 - 12 - 18x + 26x = - 54x + 6 + 8 + 31x + 6
  9. - 108 + 12 + 62x + 28 = 30x + 15 + 18 - 24 - 36x - 15 + 42x

Lösungen_1

 

Lineare Gleichungen mit zwei Unbekannten

Problem:

In der Diätküche einer Klinik werden Mahlzeiten zubereitet, die nur eine vorgeschriebene Zahl von Joule enthalten dürfen.
Stelle aus Schweinefleisch und Kartoffeln zwei verschiedene Mahlzeiten mit je 1680 J zusammen, wenn man für 100 g Schweinefleisch 504 J und für 100 g Kartoffeln 336 J ansetzt!

Gleichung:

504x + 336y = 1680

Lösen durch Probieren!

  1. x = 2            →            200 g Schweinefleisch
    y = 2            →            200 g Kartoffeln
     
  2. x = 3            →            300 g Schweinefleisch
    y = ½           →            50 g Kartoffeln

    u. a.

→    allgemeine Form:    ax + by + c = 0      (a, b, c, x, y R)

Beispiel:

4x - 2y + 2 = 0    Finde wenigstens 2 Lösungen durch Probieren!

  1. x = 0
    y = 1
    L1 = [0;1]
  1. x = 2
    y = 5
    L2 = [2;5]

Weitere Lösungen durch Überlegung    →    Umformen der Gleichung

4x - 2y + 2 = 0        →                →        y = 2x + 1


Ermittlung weiterer Lösungen mit Hilfe einer Wertetabelle:

Y = 2x+1       x
3 1
7 3
-1 -1
-3 -2
2 0,5
0 -0,5
Weitere Lösungen:

L3 = [1;3]
L4 = [3;7]
L5 = [-1;-1]
L6 = [-2;-3]
L7 = [0,5;2]
L8 = [-0,5;0]

 

Grafische Darstellung aller Lösungen:

Die lineare Gleichung 4x - 2y + 2 = 0 hat unendlich viele Lösungen.

Die Lösungsmenge ist eine Gerade.

Übungen:

  1. Löse folgende lineare Gleichungen grafisch und gib wenigstens jeweils 2 Wertepaare als Lösung an!
    a)    x - 2y = -5
    b)    4x = 3 + 2y
    c)    3x - 4y = 1
  1. Welche der gegebenen Paare rationaler Zahlen sind Lösung der linearen Gleichung 7x - 4y = 3?
     
    a)  [1;1] b)  [3;4] c)  [-2;-4] d)  [0;-3/4]

    Lösungen_2