Gondrams buntes Schülermosaik

Referate & Dokumentationen

TERME und TERMUMFORMUNGEN

Begriffe	Einfache Termumformungen	Addition und Subtraktion von Summentermen	Multiplikation von Produkttermen
Division von Produkttermen	Umformung eines Produktterms in einen Summenterm und umgek ehrt	Multiplikation von Summentermen	Arithmetischer Beweis

1. Begriffe

Begriff	Beschreibung	Beispiele
Terme	Ziffern, Variable und Zusammensetzungen aus ihnen mit Hilfe der Rechenzeichen	3 ; a ; ³/₄ ; 2,7 + x ; (6 - 4a) - 8b ; ;
Gleichungen	Ausdrücke, in denen zwei Terme durch ein Gleichheitszeichen verbunden sind	5 + 7 = 12 ; 4 + x = 5,5 ;
Ungleichungen	Ausdrücke, in denen zwei Terme durch < bzw. durch > verbunden sind	5 + 3 < 12 ; 12 - y > 20 ;

2. Einfache Termumformungen

Merke:

Alle Termumformungen führen zu einander äquivalenten Termen.

Aufgabe:

Vereinfache den Term 3x + 4y -5x -3y -6x + 2y!

Vorgehen:

Fasse nur Ausdrücke mit den gleichen Variablen zusammen!

Lösung:

3x + 4y -5x -3y -6x + 2y	= 3x - 5x - 6x +4y -3y +2y	Ordnen!
	= -8x + 3y	Zusammenfassen!

3. Addition und Subtraktion von Summentermen

a) Addition

Gegeben:	T₁ = 4x - 7y
	T₂ = -9x + 4y
Bilde und vereinfache T₁ + T₂!

Lösung:	(4x - 7y) + (-9x + 4y)	Klammern auflösen!
	= 4x - 7y - 9x + 4y	Ordnen!
	= 4x - 9x - 7y + 4y	Zusammenfassen!
	= -5x -3y	Ergebnis

Auflösen der Klammern:

a + (b - c) = a + b - c
Steht ein Plus vor der Klammer, kann die Klammer einfach weggelassen werden.
Die Vor- bzw. Rechenzeichen des zweiten Summanden bleiben erhalten.

a) Subtraktion

Gegeben:	T₁ = 8a + 2b
	T₂ = -7b + 5a
Bilde und vereinfache T₁ - T₂!

Lösung:	(8a + 2b) - (-7b + 5a)	Klammern auflösen!
	= 8a + 2b + 7b - 5a	Ordnen!
	= 8a -5a + 2b + 7b	Zusammenfassen!
	= 3a + 9b	Ergebnis

Auflösen der Klammern:

a - (b - c) = a - b + c
Steht ein Minus vor der Klammer, kann die Klammer weggelassen werden, wenn sich die Vorzeichen ändern.
Die Vor- bzw. Rechenzeichen des Subtrahenden ändern sich entgegengesetzt!

Beispielaufgaben:

1.	Schreibe den folgenden Term nur mit positiven (+) Rechenzeichen!
	6x - 23y -7z	→	6x + (-23y) + (-7z)

2.	Schreibe den folgenden Term nur mit negativen (-) Vorzeichen!
	12x - 8y +9z	→	+ (-12x) + (-8y) + (-9z)

3.	Schreibe den folgenden Term nur mit negativen (-) Rechenzeichen!
	1,3a + 9,7b + 4,5c	→	- (+1,3a) - (-9,7b) - (-4,5c)

4.	Löse die Klammern auf und fasse zusammen!
	26x - (12x -34) + (-23 + 20x) - (-8x +10)
	= 26x - 12x + 34 - 23 + 20x + 8x - 10
	= 26x - 12x + 20x + 8x + 34 -23 -10
	= 42x + 1

4. Umformung eines Produktterms in einen Summenterm und umgekehrt

Anwendung des Distributivgesetzes:

Produktterm

→

Summenterm

(1) Umformen eines Produktterms in einen Summenterm
(Ausmultiplizieren)

Hinweis:

Multipliziere den Faktor 3x mit jedem Summanden in der Klammer und addiere die so entstandenen Produkte!

Beispiele:

a) -4y(x - 3x² + 1,5)	=
	= -4xy + 12x²y - 6y
	= 12x²y - 4xy - 6y

b)
	= 3x² + 6xy - [4x² - 8xy]
	= 3x² + 6xy - 4x² + 8xy
	= -x² + 14xy

(2) Umformen eines Summenterms in einen Produktterm
(Ausklammern oder Faktorisieren)

4y³ - 6y² + 8xy

Vorgehen:	1.	Suche in *jedem* Summanden einen (den) *gemeinsamen* Faktor!
	2.	Klammere diesen gemeinsamen Faktor *aus! (Schreibe den Faktor vor eine Klammer!)*
	3.	Bilde die Restsumme, indem du jeden Summanden in der Klammer durch diesen ausgeklammerten Faktor dividierst! Kürze und addiere die so entstandenen Quotienten!
	4.	Multipliziere den ausgeklammerten Faktor mit der Restsumme!

Beispiele:

a) 6x² - 2x
b) -3ax - 12xy + 15x²

c) 12a² - 9a + 27

5. Multiplikation von Summentermen

(a + b)(c + d) = ac + ad + bc + bd

Man multipliziert jeden Summanden der einen Klammer mit jedem Summanden der zweiten Klammer und addiert die so entstandenen Produkte.
Gleiche Variablenausdrücke fasst man zusammen.

Diese Regel kann für a, b, c, d durch Rechteckflächen veranschaulicht werden:


(a + b)(c + d)	=	ac	+ ad	+ bc	+ bd

Beispiele:

= 2x + x² + 6 + 3x = x² +5x +6

= 20a + 4a² - 15 - 3a = 4a² + 17a - 15

= 15rs - 18r² - 20s² + 24rs
= -18r² + 39rs - 20s²

Kürzer:

6a² + 12ab - 10ab - 20b² = 6a² + 2ab 20b²

Übungsaufgaben - st01:

Multiplizieren Sie die Terme und fassen Sie gleiche Variablenausdrücke zusammen!

(1)

(2)

(3)

(4)

(5)

(6)

Lösungen

6. Die „Binomischen Formeln“ als Spezialfälle der Multiplikation von Summentermen

(a + b)(a + b ) = (a + b)² = a² + 2ab + b²

(a - b)(a - b) = (a - b)² = a² - 2ab + b²

(a + b)(a – b) = a² - b²

Mit Hilfe der binomischen Formeln lassen sich in besonderen Fällen Summen in Produkte umformen.

Summen, die sich in die Form (a + b)² bringen lassen, bezeichnet man als vollständige Quadrate.

Beispiele:

Schreiben Sie folgende Produkte (Potenzen) mit Hilfe der binomischen Formeln als Summen!

T₁ = (y + 4)² = y² + 2·y·4 + 4² = y² + 8y + 16
T₂ = (p – 3)² = p² - 2·p·3 + 3² = p² - 6p + 9
T₃ = (7w + 5z)(7w – 5z) = (7w)² - (5z)² = 49w² - 25z²

Schreiben Sie die folgenden Summen mit Hilfe der binomischen Formeln als Produkte (vollständige Quadrate)!

T₁ = x² + 6x + 9 = x² + 2·x·3 + 3² = (x + 3)(x + 3) = (x + 3)²
T₂ = 16r² - 56rs + 49s² = (4r)² - 2·28·rs + (7s)² = (4r – 7s)(4r – 7s) = (4r – 7s)²
T₃ = 81x² - 64y² = (9x – 8y)²

↓

Im Allgemeinen lassen sich beliebige Terme nicht komplett zu einem vollständigen Quadrat umformen. Mit Hilfe der „Quadratischen Ergänzung“ lassen sich diese Terme aber derart umformen, dass diese ein vollständiges Quadrat enthalten.

Eine "quadratische Ergänzung" macht einen Term der Form x² + p zu einem vollständigen Quadrat der Form (x + p)²

Beispiel:

(1) T₁ = x² - 10x

↓ quadratische Ergänzung zu (x² - 8x) bestimmen

= x² - 10x + (5² - 5²)                                →     Man ermittelt die "quadratische Ergänzung",
                                                                         indem man das Quadrat von p/2 bildet!
↓umformen                                               →    Damit man die "quadratische Ergänzung" dem
                                                                         Term bedenkenlos hinzufügen kann, muss man
                                                                         sie gleichzeitig wieder subtrahieren! Hier: (5² - 5²)
= (x² - 10x + 5²) - 25

↓ vollständiges Quadrat mit Hilfe der binomischen Formel angeben

= (x - 5)² - 25

7. Der arithmetischer Beweis (Beweisführung von Sätzen)

Wie ist ein Beweis aufgebaut?

Voraussetzung:	Was wird vorausgesetzt?
Behauptung:	Was wird behauptet?
Beweis:	Beweis der Behauptung mit Hilfe der Voraussetzung sowie anderen schon bewiesenen Sätzen, Definitionen bzw. Regeln

Beispiele:

1.	Die Summe von vier aufeinanderfolgenden natürlichen Zahlen ist stets gerade.

Voraussetzung:	n; n+1; n+2; n+3; n N
Behauptung:	2/n+(n+1)+(n+2)+(n+3) (2/n → 2 ist ein Teiler von n)
Beweis:	2/n+(n+1)+(n+2)+(n+3) = 2/n+n+1+n+2+n+3 = 2/4n+6 = 2/2(2n+3) → 2 N (2n+3) N → 2/2 → (Regel zur Teilbarkeit von Produkten) 2/2(2n+3) 2/4n+6 2/n+n+1+n+2+n+3 2/n+(n+1)+(n+2)+(n+3) w. z. b. w.

2.	Die Summe von drei aufeinanderfolgenden ungeraden, natürlichen Zahlen ist stets ungerade.

Voraussetzung:	2 n+1; 2n+3; 2n+5; n N
Behauptung:	(2n+1)+(2n+3)+(2n+5) → ungerade, d. h. nicht durch 2 teilbar
Beweis:	2n+1+2n+3+2n+5 = 6n+9 = 2(3n+9/2) → 2 N (3n+9/2) N 2 (3n+9/2) 2 6n+9 2 2n+1+2n+3+2n+5 2 (2n+1)+(2n+3)+(2n+5) w. z. b. w.

3.	Wenn die kleinste von drei aufeinanderfolgenden natürlichen Zahlen ungerade ist, so ist deren Summe durch 6 teilbar.

Voraussetzung:	2 n+1; 2n+2; 2n+3; n N
Behauptung:	6/(2n+1)+(2n+2)+(2n+3)
Beweis:	(2n+1)+(2n+2)+(2n+3) = 2n+1+2n+2+2n+3 = 6n+6 = 6(n+1) → 1 N → 6/6 → (Regel zur Teilbarkeit von Produkten) 6/6(n+1) 6/6n+6 6/2n+1+2n+2+2n+3 6/(2n+1)+(2n+2)+(2n+3) w. z. b. w.