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© Peter Otto
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Lineare Gleichungssysteme mit 2 Unbekannten


Problem: Die Dekorationsabteilung eines Kaufhauses bestellt beim Fachhandel 50 Kunstblumen, die sowohl in Draht (80 g) als auch in Plastik (30 g) lieferbar sind. Der Lieferant möchte die Sendung durch die Post zustellen.
Wie viele Drahtblumen dürfen dabei sein, damit das zulässige Höchstgewicht für das Päckchen von 2 kg ausgenutzt, aber nicht überschritten wird?

Lösung:
   
Annahme: x .... Drahtblumen y .... Plastikblumen
lineare Gleichung für die Stückzahl: x + y = 50     y = 50 - x
lineare Gleichung für das Gewicht: 80x + 30y = 2000 → 

Wie kann man das Problem lösen?

1  zeichnerisch
2  rechnerisch
3  mit Hilfe von Determinanten und Matrizen

1   zeichnerische Lösung

Wertetabellen:

Stückzahl:
 
Y = 50 - x     x
50 0
40 10
30 20
20 30
10 40
0 50

Gewicht:

Y = (200 - 8x)/3     x
66,7 0
40,0 10
13,3 20
0 25

Ergebnis:

Aus der grafischen Darstellung erhält man folgende Koordinaten für den Schnittpunkt S der beiden Geraden: S(10;40).
→  x = 10
      y = 40

Frage:

Gibt es mehr Lösungen?               →        NEIN

Antwort:

Die Postsendung muss aus 10 Drahtblumen und 40 Plastikblumen bestehen, damit das Transportgewicht ausgenutzt, aber nicht überschritten wird.


2   rechnerische Lösung

I.   x + y = 50

II.  80x + 30y = 2000

Wie kann man ein System aus 2 Gleichungen mit 2 Unbekannten rechnerisch lösen?

Es gibt insgesamt 3 Lösungsverfahren:
  1. Einsetzungsverfahren
  2. Gleichsetzungsverfahren
  3. Additionsverfahren
 

 

A.   Das Einsetzungsverfahren

Eine Gleichung des Gleichungssystems nach einer beliebigen Variablen auflösen und den erhaltenen Term für diese Variable in der anderen Gleichung einsetzen.

I.   x + y = 50                     x = 50 - y     (z. B. Gleichung I nach x auflösen)
II.
  80x + 30y = 2000

I in II einsetzen:

80(50 - y) + 30y = 2000

4000 - 80y + 30y = 2000

          4000 - 50y = 2000

                    2000 = 50y

                        40 = y

                  (Plastikblumen)

Berechnung von x (Drahtblumen) durch Einsetzen in Originalgleichung:

I.   x + 40 = 50

               x = 10

Probe:

I.   10 + 40 = 50                               II. 80 * 10 + 30 * 40 = 2000
              50 = 50                                                800 + 1200 = 2000
                                                                                     2000 = 2000 

→ [10;40] ist die Lösung des gegebenen linearen Gleichungssystems

→ Lösungsmenge: L = {10;40}

Ergebnis:

Die Postsendung muss aus 10 Drahtblumen und 40 Plastikblumen bestehen, damit das Transportgewicht ausgenutzt, aber nicht überschritten wird.
 

B.   Das Gleichsetzungsverfahren

Beide Gleichungen des Gleichungssystems nach derselben Variable auflösen und die erhaltenen Terme gleichsetzen.

I.   x + y = 50                       x = 50 - y    
II.
  80x + 30y = 2000            → 

I = II:     

      50 - y =

80(50 - y) = 2000 - 30y

4000 - 80y = 2000 - 30y

         2000 = 50y

              40 = y

          (Plastikblumen)

Berechnung von x (Drahtblumen) durch Einsetzen in Originalgleichung:

I.   x + 40 = 50

               x = 10

→ [10;40] ist die Lösung des gegebenen linearen Gleichungssystems

→ Lösungsmenge: L = {10;40}

Ergebnis:

Die Postsendung muss aus 10 Drahtblumen und 40 Plastikblumen bestehen, damit das Transportgewicht ausgenutzt, aber nicht überschritten wird.


 

C.   Das Additionsverfahren

Eine Gleichung des Gleichungssystems durch Umformen so geschickt erweitern, dass sich bei der Addition der beiden Gleichungen eine Unbekannte aufhebt.

I.   x + y = 50                   | Gleichung mit (-80) erweitern      →    - 80x - 80y = - 4000    
II.
  80x + 30y = 2000            

I + II:     

 - 80x - 80y + 80x + 30 y = - 4000 + 2000

                              - 50 y = - 2000    

                                      y = 40

                              (Plastikblumen)

Berechnung von x (Drahtblumen) durch Einsetzen in Originalgleichung:

I.   x + 40 = 50

               x = 10

→ [10;40] ist die Lösung des gegebenen linearen Gleichungssystems

→ Lösungsmenge: L = {10;40}

Ergebnis:

Die Postsendung muss aus 10 Drahtblumen und 40 Plastikblumen bestehen, damit das Transportgewicht ausgenutzt, aber nicht überschritten wird.

 

3   mit Hilfe von Determinanten und Matrizen


I.   x + y = 50                      
II.
  80x + 30y = 2000

Hinweis:
Jede Gleichung des linearen Gleichungssystems muss die Form ax + by = c besitzen!

Cramersche Regel:
Wenn die Koeffizientendeterminante D eines linearen Gleichungssystems ≠ 0 ist, besitzt dieses genau eine Lösung.

Lösung:

                         D = -50

→  

       

          x = 10

→  

      

        y = 40

 

→ [10;40] ist die Lösung des gegebenen linearen Gleichungssystems

→ Lösungsmenge: L = {10;40}

Ergebnis:

Die Postsendung muss aus 10 Drahtblumen und 40 Plastikblumen bestehen, damit das Transportgewicht ausgenutzt, aber nicht überschritten wird.
 

Übung:

Löse folgende lineare Gleichungssysteme:

a)     I.    2x + y = 4
        II.   x + 2y = 5

durch das Gleichsetzungsverfahren

b)     I.    6x + 4y = 24
        II.        x - y = 2

durch das Einsetzungsverfahren

c)     I.    2x + 3y = 12
        II.    3x - 2y = 5

durch das Additionsverfahren

 

d)     I.    2y - 4 = 6x
        II.   2x - y = 5

mit Hilfe der Koeffizientenmatrix und der Determinante D

e)      I.    23x - 32 = 7x - 8y
        II.      6x - 6y = y - 8x

freie Wahl

 

f)      I.    y - 3x = 1
        II.   3x + y = 7

grafisch

 

Lösungen