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Quadratische Funktionen


[Allgemeine Form] [Sonderfälle] [y = x²] [y = ax² + c] [y = (x + d)² + e] [Quadratische Ergänzung]
[y = x² + px + q] [Nullstellen] [Ermittlung der Funktionsgleichung] [Übungen]


1. Begriff:
Die durch die Gleichung f(x) = ax² + bx + c für a, b, c R und a ≠ 0 definierte Funktion f (x) heißt quadratische Funktion oder Funktion zweiten Grades.

 

2. Funktionsgleichung:
y = f(x) = ax² + bx + c           allgemeine Form der Gleichung einer quadratischen Funktion

              

Die Zahlen a, b, c heißen Koeffizienten der Funktion.

3. Sonderfälle der allgemeinen Form:

(1)  a = 1, b = 0 und c = 0     y = x²                    Normalparabel

(2)  c ≠ 0 und b = 0               y = x² + c              Verschiebung der Normalparabel
                                                                                   entlang der y - Achse um c

(3)  a > 0, c = 0 und b= 0      y = ax²                  die um a gestreckte oder gestauchte           
                                                                                   Normalparabel

(4)  a = 1, d ≠ 0 und e ≠ 0     y = (x + d)² + e     Verschiebung der Normalparabel 
                                                                                   entlang der y - Achse um e und
                                                                                   entlang der x- Achse um d

(5)  a = 1, b = p und c = q     y = x² + px + q      Normalform einer quadratischen
                                                                                   Funktion

(6)  a < 0, b ≠ 0 und c ≠ 0                                       Parabel öffnet nach unten



4. Die quadratische Funktion y = x²

Sonderfall der allgemeinen Form einer quadratischen Funktion für a = 1 und b = 0 und c = 0

Wichtige Eigenschaften der Funktion y = x²

(1)     Definitionsbereich:                x R

(2)     Wertebereich:                      y R und y 0

(3)     f (0) = 0 ist der kleinste Funktionswert.

(4)     Im Intervall x 0 fällt das Bild der Funktion monoton.
          
Im Intervall x 0 steigt das Bild der Funktion monoton.

(5)     Das Bild der Funktion ist eine quadratische Parabel.               →               Normalparabel
         
Das Bild liegt axialsymmetrisch zur y - Achse.

4. Die quadratische Funktion y = ax² + c

Wie erhält man das Bild der Funktion y = ax² + c aus dem Bild der Funktion y = x² (Normalparabel)?

(1)     Die Normalparabel wurde um "c" Einheiten entlang der y - Achse verschoben.

(2)     Die Normalparabel wurde um den Faktor "a" gestreckt bzw. gestaucht.

(3)     Das Bild der Funktion y = ax² + c ist eine quadratische Parabel.

(4)     Die Scheitelpunktkoordinaten sind:   S (0 ; c)

(5)     Wenn a < 0, dann öffnet die Parabel nach unten.

 

Fallunterscheidung

(1)     a = 1              →          Normalparabel y = x²

(2)     a > 1              →          Parabel gestreckt im Vergleich zur Normalparabel y = x²

(3)     1 >  a > 0       →          Parabel gestaucht im Vergleich zur Normalparabel y = x²

(4)     a < 0              →          Parabel an der x-Achse gespiegelt (öffnet nach unten)

Beispiele:

(1) y = 2x² - 3

(2)  y = 3,5x² + 1,5

 

(3)  y = -4x² + 2,5

(4)  y = 0,4x² - 3,5

 

5. Die quadratische Funktion y = (x+d)² + c

Ziel:    Grafische Darstellung der Funktion mit Hilfe der Normalparabel (Schablone)!

notwendig: Scheitelpunktkoordinaten S (x;y)      →      S (-d;e)

Aufgabe:
Ermitteln Sie aus der Normalform einer quadratischen Gleichung y = f (x) die Form y = (x + d)² + e, lesen Sie daraus die Scheitelpunktkoordinaten S (-d;e) ab und stellen Sie die Funktion mit Hilfe der Schablone der Normalparabel grafisch dar!
Bilden Sie dazu die quadratische Ergänzung!

Beispiel:

y = x² - 6x + 7

quadratische Ergänzung zu (x² - 6x)        →    Eine "quadratische Ergänzung" macht einen Term
   
bestimmen                                                      der Form x² + p zu einem vollständigen Quadrat
                                                                          der Form (x + p)²

y = x² - 6x + (3² - 3²) + 7                           →   Man ermittelt die "quadratische Ergänzung",
                                                                         indem man das Quadrat von p/2 bildet!
                                                                         Damit man die "quadratische Ergänzung" dem
                                                                         Term bedenkenlos hinzufügen kann, muss man sie
umformen                                                      gleichzeitig wieder subtrahieren! Hier: (3² - 3²)

y = (x² - 6x + 3²) - 9 + 7

vollständiges Quadrat angeben

y = (x  - 3)² - 2

Scheitelpunktkoordinaten S (-d;e) angeben

y = (x  - 3)² - 2    →    y = (x + d)² + e    →    d = - 3    →    - d = 3    und    e = - 2   
→    S (3;-2) Scheitelpunktkoordinaten

Weiteres Beispiel:

y = x² + 4x + 3   →    y = x² + 4x + (2² - 2²) + 3    →    y = (x² + 4x +2²) - 4 + 3   
→    y = (x + 2)² - 1    →    S (-2;-1)

 

6. Die Normalform einer quadratischen Funktion: y = x² + px + q

Ziel:
Überführen Sie die Normalform einer quadratischen Funktion in eine Funktion mit der Gleichung
y = (x + d)² + e!

y = (x + p/2- (p/2 +q    →    y = (x + p/2)² - /4 + q     →    y = (x + p/2)² - (/4 - q)

Beschreibung:    d = p/2         und          q = /4 - q        

Scheitelpunktkoordinaten:      S (-p/2; q - /4)

Merke:
Die Differenz /4 - q nennt man die Diskriminante D der betreffenden quadratischen Funktion.

Jede quadratische Funktion y = x² + px + q hat als Graph eine zur Normalparabel kongruente Parabel mit dem Scheitelpunkt S (-p/2; q - /4) bzw. S (-p/2; - D).
Jede Funktion y = x² + px + q nimmt also an der Stelle xS = -p/2 ihren kleinsten Funktionswert yS = -D an.

Für x -p/2 ist die Funktion monoton fallend und für x -p/2 monoton wachsend.

 

7. Nullstellen der quadratischen Funktion y = x² + px + q

Merke:
Jede quadratische Funktion y = x² + px + q hat genau dann Nullstellen, wenn für die Diskriminante D gilt:   D = /4 - q  ≥ 0.

Fallunterscheidung:

D = /4 - q ys = -D Parabel y = x² + px + q Funktion y = x² + px + q
D > 0 ys < 0 schneidet die x-Achse in zwei verschiedenen Punkten hat genau zwei verschiedene Nullstellen
D = 0 ys = 0 berührt die x-Achse hat genau eine Nullstelle
D < 0 ys > 0 hat keine gemeinsamen Punkte mit der x-Achse hat keine Nullstellen

Beispielaufgabe:

Diskutieren Sie ohne eine grafische Darstellung die quadratische Funktion y = x² + 4x + 1 hinsichtlich:
a) Scheitelpunktkoordinaten
b) Wertebereich
c) Definitionsbereich
d) Monotonieverhalten
e) Existenz von Nullstellen
f) kleinster Funktionswert (Minimum)

Lösung:

y = x² + 4x + 1     →     y = (x + 2)² - 3

a)    S(-2; -3)
b)    y -3
c)   
- x
d)    monoton fallend: x -2   und     monoton steigend: x -2
e)    D = 3   →    2 Nullstellen
f)    ymin = -3

Berechnung der Nullstellen der quadratischen Funktion y = x² + px + q

allgemein:

y = x² + px + q     →     y = 0     →      0 = x² + px + q  (quadratische Gleichung in der Normalform)

→     Anwendung der allgemeinen Lösungsformel: x1/2 = -p/2 ± √(p/2)² - q

→     Lösungen der quadratischen Gleichung:   x1 =  -p/2 + √(p/2)² - q
                                                                       x2 = -p/2
- √(p/2)² - q

→     Nullstellen der zugehörigen quadratischen Funktion:     xo1 =  -p/2 + √(p/2)² - q
                                                                                           xo2 = -p/2
- √(p/2)² - q

am Beispiel:

Geben Sie die Nullstellen der quadratischen Funktion y = x² + 6x + 5 durch Lösung der zugehörigen quadratischen Gleichung an!

y = x² + 6x + 5     →     y = 0     →      0 = x² + 6x + 5

→     Anwendung der allgemeinen Lösungsformel: x1/2 = -p/2 ± √(p/2)² - q

→     x1/2 = -6/2 ± √(6/2)² - 5

→     Lösungen der quadratischen Gleichung:   x1 = -3 - 2 = -5
                                                                       x2 = -3 + 2 = -1

→     Nullstellen der zugehörigen quadratischen Funktion:     xo1 = -5
                                                                                           xo2 = -1

→     Zur Kontrolle die graphische Darstellung der Funktion:

Merke:

Die Nullstellen der quadratischen Funktion y = x² + px + q entsprechen den Lösungen der zugehörigen quadratischen Gleichung x² + px + q = 0.

 

8.  Ermittlung der Funktionsgleichung y = x² + px + q bei zwei gegebenen Punkten
     P und Q

Aufgabe:
Ermitteln Sie die Gleichung einer quadratischen Funktion in der Normalform y = x² + px + q, wenn vom Funktionsbild zwei Punkte P und Q bekannt sind, die diese Funktion erfüllen: P(5;6)   und Q(2;3)! Formen Sie die ermittelte Normalform in die Form y = (x + d)² + e um und stellen Sie die Funktion grafisch dar!

Lösung:                 
Punktkoordinaten von P und Q jeweils in die Funktionsgleichung (y = x² + px + q) einsetzen
es ergibt sich ein lineares Gleichungssystem (2 Gleichungen mit 2 Unbekannten)

                  I.        6 = 5² + 5p + q
                  II.       3 = 2² + 2p + q                   

     beide Gleichungen (z. B.) nach „q“ umformen und dann gleichsetzen

                  I.        q = -19 -5p
                  II.       q = -1 – 2p 

        I = II:           - 19 -5p = -1 – 2p           Gleichung nach p umformen    p = -6

   p in Gleichung I oder II einsetzen und nach q umformen   q = 11

      Funktionsgleichung:      y = x² - 6x + 11

         Scheitelpunktkoordinaten S(-d;e) aus y = (x + d)² + e ermitteln

→         y = x² - 6x + 11        →   y = x² - 6x + 11 + -     →    y = x² - 6x + + 11 –

→      y = (x – 3)² + 2          S(3;2)

9.  Übungen

1. 
Ermitteln Sie die Gleichung einer quadratischen Funktion in der Normalform y = x² + px + q, wenn vom Funktionsbild zwei Punkte A und B bekannt sind, die diese Funktion erfüllen: A(2;1)   und B(5;4)! Formen Sie die ermittelte Normalform in die Form y = (x + d)² + e um und stellen Sie die Funktion grafisch dar!

2. 
Diskutieren Sie eine quadratische Funktion der Form y = x² + px + q, von deren Graph lediglich zwei Punkte P(1;0) sowie Q(4;-3) bekannt sind, hinsichtlich:
a) Scheitelpunktkoordinaten
b) Wertebereich
c) Definitionsbereich
d) Monotonieverhalten
e) Existenz (Angabe) von Nullstellen
f) kleinster Funktionswert (Minimum)
g) Schnittpunkt mit der y-Achse
Zeichnen Sie zur Kontrolle das Bild der gesuchten quadratischen Funktion!

Lösungen

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