Quadratische Funktionen

[Allgemeine Form] [Sonderfälle] [y = x²] [y = ax² + c] [y = (x + d)² + e] [Quadratische Ergänzung]
[y = x² + px + q] [Nullstellen] [Ermittlung der Funktionsgleichung] [Übungen]

1. Begriff:
Die durch die Gleichung f(x) = ax² + bx + c für a, b, c R und a ≠ 0 definierte Funktion f (x) heißt quadratische Funktion oder Funktion zweiten Grades.

2. Funktionsgleichung:
y = f(x) = ax² + bx + c       →     allgemeine Form der Gleichung einer quadratischen Funktion

               ↓

Die Zahlen a, b, c heißen Koeffizienten der Funktion.

3. Sonderfälle der allgemeinen Form:

4. Die quadratische Funktion y = x²

Sonderfall der allgemeinen Form einer quadratischen Funktion für a = 1 und b = 0 und c = 0

Wichtige Eigenschaften der Funktion y = x²

(1)     Definitionsbereich:                x R

(2)     Wertebereich:                      y R und y 0

(3)     f (0) = 0 ist der kleinste Funktionswert.

(4)     Im Intervall x 0 fällt das Bild der Funktion monoton.
           Im Intervall x 0 steigt das Bild der Funktion monoton.

(5)     Das Bild der Funktion ist eine quadratische Parabel.               →               Normalparabel
          Das Bild liegt axialsymmetrisch zur y - Achse.

5. Die quadratische Funktion y = ax² + c

Wie erhält man das Bild der Funktion y = ax² + c aus dem Bild der Funktion y = x² (Normalparabel)?

(1)     Die Normalparabel wurde um "c" Einheiten entlang der y - Achse verschoben.

(2)     Die Normalparabel wurde um den Faktor "a" gestreckt bzw. gestaucht.

(3)     Das Bild der Funktion y = ax² + c ist eine quadratische Parabel.

(4)     Die Scheitelpunktkoordinaten sind:   S (0 ; c)

(5)     Wenn a < 0, dann öffnet die Parabel nach unten.

Fallunterscheidung

(1)     a = 1              →          Normalparabel y = x²

(2)     a > 1              →          Parabel gestreckt im Vergleich zur Normalparabel y = x²

(3)     1 >  a > 0       →          Parabel gestaucht im Vergleich zur Normalparabel y = x²

(4)     a < 0              →          Parabel an der x-Achse gespiegelt (öffnet nach unten)

Beispiele:

6.  Die quadratische Funktion y = (x+d)² + e     (Scheitelpunktpunktform)

Ziel:    Grafische Darstellung der Funktion mit Hilfe der Normalparabel (Schablone)!

notwendig:   Scheitelpunktkoordinaten S (x;y)      →      S (-d;e)

Beispiel:

y = (x + 2)² - 1    → d = 2 → -d = -2 ; e = -1   →    S (-2;-1)

Das Bild der Funktion y = (x + 2)² - 1 entsteht aus der Normalparabel (y = x²) durch Verschiebung um -2 Einheiten (-d) entlang der x-Achse nach links und -1 Einheit (e) entlang der y-Achse nach unten.

7.  Die Normalform einer quadratischen Funktion: y = x² + px + q

Ziel:

Stellen Sie die Funktion y = x² + px + q mit Hilfe der Schablone der Normalparabel grafisch dar!  Ermitteln Sie dazu aus der Normalform der quadratischen Funktion die Form y = (x + d)² + e!
Bilden Sie dazu die quadratische Ergänzung!
Lesen Sie die Scheitelpunktkoordinaten S (-d;e) ab.

Beispiel:

y = x² - 6x + 7

↓ quadratische Ergänzung zu (x² - 6x)   →    Eine "quadratische Ergänzung" macht einen Term
    bestimmen                                                  der Form x² + p zu einem vollständigen Quadrat
                                                                       der Form (x + p)²

y = x² - 6x + (3² - 3²) + 7                    →      Man ermittelt die "quadratische Ergänzung",
                                                                      indem man das Quadrat von p/2 bildet!
↓ umformen                                                 Damit man die "quadratische Ergänzung" dem Term
                                                                      bedenkenlos hinzufügen kann, muss man sie
                                                                      gleichzeitig wieder subtrahieren! Hier: (3² - 3²)      
y = (x² - 6x + 3²) - 9 + 7

↓ vollständiges Quadrat angeben

y = (x  - 3)² - 2              (Scheitelpunktpunktform)

↓ Scheitelpunktkoordinaten S (-d;e) angeben

y = (x  - 3)² - 2    →    y = (x + d)² + e    →    d = - 3    →    - d = 3    und    e = - 2   
→    S (3;-2) Scheitelpunktkoordinaten

Weiteres (allgemeines) Beispiel:

Überführen Sie die Normalform einer quadratischen Funktion in eine Funktion mit der Gleichung
y = (x + d)² + e! Geben Sie die Scheitelpunktkoordinaten S(-d;e) an!

y = x² + px + (^p/₂) ² - (^p/₂)² +q    →    y = (x + ^p/₂)² - ^p²/₄ + q     →    y = (x + ^p/₂)² + (- (^p²/₄ - q))

Beschreibung:    d = ^p/₂         und          e = -(^p²/₄ – q)   →   e = - ^p²/₄ + q 

Scheitelpunktkoordinaten:      S (-^p/_2; q - ^p²/₄)

 Merke:
Die Differenz  ^p²/₄ - q nennt man die Diskriminante D der betreffenden quadratischen Funktion.

Jede quadratische Funktion y = x² + px + q hat als Graph eine zur Normalparabel kongruente Parabel mit dem Scheitelpunkt S (-^p/_2; - ^p²/₄ + q) bzw. S (-^p/_2; - D).
Jede Funktion y = x² + px + q nimmt also an der Stelle x_S = -^p/₂ ihren kleinsten Funktionswert y_S = -D an.

Für x -^p/₂ ist die Funktion monoton fallend und für x -^p/₂ monoton wachsend.
Bei y = y₀ = q schneidet die Funktion die y-Achse und bei y = x₀ (Nullstelle) die x-Achse.

8. Nullstellen der quadratischen Funktion y = x² + px + q

Merke:
Jede quadratische Funktion y = x² + px + q hat genau dann Nullstellen, wenn für die Diskriminante D gilt:  
D = ^p²/₄ - q  ≥ 0.

Fallunterscheidung:

Beispielaufgabe:

Diskutieren Sie, ohne eine grafische Darstellung, die quadratische Funktion y = x² + 4x + 1 hinsichtlich:

Lösung:

y = x² + 4x + 1     →     y = (x + 2)² - 3

a)    S(-2; -3)
b)    y -3
c)    -∞ x ∞
d)    monoton fallend: x -2   und     monoton steigend: x -2
e)    D = 3   →    2 Nullstellen
f)    y_min = -3
g)    y₀ = 1       →      S_y(0;1)

Berechnung der Nullstellen der quadratischen Funktion y = x² + px + q

allgemein:

y = x² + px + q     →     y = 0     →      0 = x² + px + q  (quadratische Gleichung in der Normalform)

→     Anwendung der allgemeinen Lösungsformel: x_1/2 = -^p/₂ ± √(^p/₂)² - q

→     Lösungen der quadratischen Gleichung:   x₁ =  -^p/₂ + √(^p/₂)² - q
                                                                            x₂ =  -^p/₂ - √(^p/₂)² - q

→     Nullstellen der zugehörigen quadratischen Funktion:     x_o1 =  -^p/₂ + √(^p/₂)² - q
                                                                                                   x_o2 =  -^p/₂ - √(^p/₂)² - q

Beispiel:

Geben Sie die Nullstellen der quadratischen Funktion y = x² + 6x + 5 durch Lösung der zugehörigen quadratischen Gleichung an!

y = x² + 6x + 5     →     y = 0     →      0 = x² + 6x + 5

→     Anwendung der allgemeinen Lösungsformel: x_1/2 = -^p/₂ ± √(^p/₂)² - q

→     x_1/2 = -⁶/₂ ± √(⁶/₂)² - 5

→     Lösungen der quadratischen Gleichung:   x₁ = -3 - 2 = -5
                                                                            x₂ = -3 + 2 = -1

→     Nullstellen der zugehörigen quadratischen Funktion:     x_o1 = -5
                                                                                                   x_o2 = -1

→     Zur Kontrolle die graphische Darstellung der Funktion:

Merke:

Die Nullstellen der quadratischen Funktion y = x² + px + q entsprechen den Lösungen der zugehörigen quadratischen Gleichung x² + px + q = 0.

 9.  Ermittlung der Funktionsgleichung y = x² + px + q bei zwei gegebenen Punkten
     P und Q

Aufgabe:
Ermitteln Sie die Gleichung einer quadratischen Funktion in der Normalform y = x² + px + q, wenn vom Funktionsbild zwei Punkte P und Q bekannt sind, die diese Funktion erfüllen: P(5;6)   und Q(2;3)! Formen Sie die ermittelte Normalform in die Form y = (x + d)² + e um und geben Sie die Scheitelpunktkoordinaten an! Stellen Sie die Funktion grafisch dar!

Lösung:                 
Punktkoordinaten von P und Q jeweils in die Funktionsgleichung (y = x² + px + q) einsetzen
→ es ergibt sich ein lineares Gleichungssystem (2 Gleichungen mit 2 Unbekannten)

                  I.        6 = 5² + 5p + q
                  II.       3 = 2² + 2p + q                   

→      beide Gleichungen (z. B.) nach „q“ umformen und dann gleichsetzen
                  I.        q = -19 -5p
                  II.       q = -1 – 2p 

→         I = II:           - 19 -5p = -1 – 2p     →      Gleichung nach p umformen  →  p = -6

→     p in Gleichung I oder II einsetzen und nach q umformen →  q = 11

→       Funktionsgleichung:      y = x² - 6x + 11

→         Scheitelpunktkoordinaten S(-d;e) aus y = (x + d)² + e ermitteln

→         y = x² - 6x + 11        →   y = x² - 6x + 11 + 3² - 3³    →    y = x² - 6x + 3² + 11 – 3²

→      y = (x – 3)² + 2        →  S(3;2)

10.  Übungen
1. 
Ermitteln Sie die Gleichung einer quadratischen Funktion in der Normalform y = x² + px + q, wenn vom Funktionsbild zwei Punkte A und B bekannt sind, die diese Funktion erfüllen: A(2;1)   und B(5;4)!
Formen Sie die ermittelte Normalform in die Form y = (x + d)² + e um und stellen Sie die Funktion grafisch dar!

2. 
Diskutieren Sie eine quadratische Funktion der Form y = x² + px + q, von deren Graph lediglich zwei Punkte P(1;0) sowie Q(4;-3) bekannt sind, hinsichtlich:

Lösungen

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